1) If the question is "Who invented the modern turbo jet engine?" then the answer is Maxime Guillaume in 1921
See:
"Propulseur par réaction sur l'air", patent no. 534,801 (filed: 3 May 1921; issued: 13 January 1922).
Download the patent and study the jet engine which appear on the last page. This is undeniably the first known
turbojet engine.
2) If the question is who build the first jet plane then this is Henri Coanda in 1910.
It is not clear whether the plane flew or not and most likely it did not fly but the description given by Max de Nansouty in his book published in 1914 is clear. A piston engine turns a turbine (compressor) that blows the air rearward, pushing the plane. The jet of air is also mixed with the exhaust gases of the piston engine for maximizing the efficiency of the propulsion. In a 1910 patent, Coanda himself called the motor of his plane "jet engine".
"
On voit que l'aéroplane Coanda ne manque pas de particularités ingénieuses et intéressantes, mais la plus curieuse consiste dans le remplacement de l'hélice par un turbo-propulseur pour actionner l'appareil.
Le turbo-propulseur est situé à l'extrémité avant du fuselage ; dans une sorte de capot conique. A l'arrière de ce capot est placé un moteur de 50 chevaux fixé dans le fuselage en avant du siège du pilote. Ce moteur donne le mouvement de rotation à une petite turbine qui tourne à raison de 4.000 tours par minute. Les aubes de cette turbine ont trois courbures : la courbure d'aspiration, de raccord et de propulsion.
A l'avant de la turbine est placé un distributeur comportant des aubes hélicoïdales et, à l'arrière, un diffuseur conique qui rejette a l'arrière l'air détendu par son passage dans la turbine. Comme du fait de cette détente, l'air se trouve refroidi, pour éviter ce refroidissement, les gaz d'échappement du moteur sont envoyés dans les aubes du distributeur d'avant, ce qui permet de réchauffer l'air admis dans la turbine.
L'effort de traction du turbo-propulseur est indépendant du mouvement de translation de l'appareil."
Source:Max de Nansouty, "Aérostation, aviation"
, Boivin (Paris)
, 1914,
Aérostation, aviation, par Max de Nansouty,...
Coanda 1910 plane and turbine
It should be mentioned that a much powerful plane working on the same principle (cold thrust) and not using afterburners flew at 200 km/h, about three decades later.
"On the cold thrust alone, the Campini Caproni was capable of speeds over 200 kph, however with the addition of the 'afterburner', speeds easily doubled to 400kph."
See:
Delta 1/72 Campini Caproni Preview
3) If the question is who built the first practical jet planes then the answer is Germans, shortly before and during WWII.